| Стохастическая линия в курсе математики
общеобразовательной средней школы.
Учитель:
Болтенкова В. И.
В настоящее время теория вероятностей завоевала очень
серьезное место в науке и прикладной деятельности. Её идеи, методы и результаты
не только используются, но и буквально пронизывают все естественные и
технические науки, экономику, планирование, организацию производства, связи, а
также такие далекие, казалось бы, от математики науки, как лингвистику и
археологию. Без хорошего представления о том, что явления и процессы, с
которыми мы имеем дело, подчиняются сложным законам теории вероятностей,
невозможна продуктивная деятельность людей ни в одной сфере жизни общества.
В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы,
банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы
социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться
сделать прогнозы о себе самом и о явлениях природы, которые требуют
представлений о вероятности.
Мы должны научить жить наших детей в вероятностной
ситуации, а это, значит, извлекать, анализировать и обрабатывать информацию,
принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными
исходами.
Как известно, современная концепция школьного
математического образования ориентирована, прежде всего, на учет
индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются
критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых методик, изменения в
требованиях к математической подготовке учащихся. И с этой точки зрения, когда
речь идет о формировании личности с помощью математики, необходимость развития
у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится
насущной задачей.
Одновременно с этим само знакомство школьников с этой
областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и
оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначным "да" и
"нет" существует еще "быть может", что кажется, происходящее на уроках математики
никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. Согласно данным
ученых-физиологов и психологов, а также по многочисленным наблюдениям учителей
математики, в среднем звене школы заметно падение интереса к математике и
связано это с тем, что у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой
стены между изучаемыми абстрактно-формальными объектами и реальным миром.
Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в
последнее время, - стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры
на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка,
способна содействовать возвращению интереса к самому предмету
"математика", пропаганде его значимости и универсальности.
Известно, что опыт преподавания в школе основ теории
вероятностей в период реформы 60-70 гг. на формально-логическом уровне дал в
основном негативные результаты, это привело к изъятию этого раздела из школьных
программ: материал оказался сложным, плохо усваивался учащимися. К тому же
неоднократно проводимые исследования знаний учащихся старших математических
классов показали, сколь мало эти знания способствуют развитию вероятностной
интуиции и статистического мышления.
В 2003 году было вновь принято решение о введении
элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание
математического образования средней общеобразовательной школы. К этому моменту
элементы теории вероятностей и статистики уже более десяти лет в разрозненном
виде присутствовали в школьных учебниках алгебры для разных классов и в виде
отдельных учебных пособий. Однако изложение вероятностно-статистического
материала, как правило, не носило систематического характера, а учителя, чаще
всего, не обращались к этим разделам, не включали их в учебный план. Принятый
Министерством образования в 2003 году документ предусматривал постепенное,
поэтапное включение этих разделов в школьные курсы, давая возможность
преподавательскому сообществу подготовиться к соответствующим изменениям. В
2010-2011 учебном году задачи по статистике, комбинаторике и теории вероятностей
были включены в ГИА по математике. В
связи с включением в 2011-2012 учебном году в ЕГЭ по математике заданий по стохастике, появляется
необходимость полноценного изучения элементов комбинаторики, теории
вероятностей и статистики и в старшей школе.
В открытом
банке заданий по математике 189 задач по теории вероятностей. Тексты трёх задач
различных типов предлагаю вашему вниманию.
№1. В
случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите
вероятность того, что орел не выпадет ни разу. (Ответ: 0,0625)
№2.
В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9
из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают
гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка,
выступающая первой, окажется из Парагвая. (Ответ: 0,475)
№3.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 80 качественных сумок приходится
одна сумка со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка
окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,99)
Как показывает анализ учебников и учебных пособий,
содержащих материал по данной теме, существуют проблемы как в вопросах изложения
этого материала в школьном курсе, так и
в определении содержания, необходимого для успешного усвоения и понимания основ
теории вероятностей и статистики и его соответствия содержанию и требованиям
государственного стандарта по математике.
Содержание материала, обязательно изучаемого по данной
теме в курсе средней общеобразовательной школы, должно включать:
·
понятие и примеры
случайных событий;
·
понятия частоты
события и вероятности;
·
равновозможные
события и подсчет их вероятности;
·
представление о
геометрической вероятности;
·
представление
данных в виде таблиц, диаграмм, графиков;
·
средние
результаты измерений;
·
понятие о статистическом
выводе на основе выборки.
·
понятие о
комбинаторике и вероятности.
Согласно требованиям стандарта по математике после
изучения данной темы учащиеся должны уметь:
·
находить
вероятности случайных событий в простейших случаях;
·
находить частоту
событий, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;
·
вычислять средние
значения результатов измерений;
·
сравнивать шансы
наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в
практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией;
·
понимать
статистические рассуждения;
·
анализировать
реальные числовые данные, представленные в виде диаграмм, графиков, таблиц.
·
решать простейшие
комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных
формул, треугольника Паскаля, вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле
и с использованием треугольника Паскаля;
·
вычислять, в
простейших случаях, вероятности событий на основе подсчета числа исходов.
Таким образом, актуальность темы
обусловлена:
·
необходимостью
полноценного изучения важнейших элементов теории вероятностей и математической
статистики в средней школе в связи с огромной значимостью и важностью этого
материала;
·
«новизной»
изучаемого материала, который долгое время отсутствовал в курсе математики
средней школы;
·
недостаточной
разработанностью методики преподавания этого материала в школьном курсе
математики;
·
существованием проблем
в вопросах изложения этого материала в различных учебных пособиях.
В связи с этим тема «Понятие вероятности и
элементы статистики в средней школе» определяет проблему: поиск
путей совершенствования методики изучения вероятностно-статистической линии в
средней школе, которая, в свою очередь, выявляет объект исследования
- процесс изучения элементов теории вероятностей и математической статистики в
курсе математики средней школы.
Основные цели - изучить теоретические
аспекты, разработать практические рекомендации по методике изучения
стохастической линии в курсе математики средней школы, применить некоторые из
них при изучении этого раздела школьниками, проанализировать и сделать выводы о
правильности и целесообразности разработанных практических рекомендаций.
Добиться того, чтобы изучение вероятностно-статистической линии школьниками на
основе разработанной методики способствовала полноценному и качественному
усвоению этого достаточно сложного материала, развитию правильных представлений
о данном разделе математики и умений применять полученные знания в практической
жизни.
Рассмотрим методику изучения стохастической линии в
средней школе по учебному комплекту А.Г.
Мордкович и др. в 5-11 классах.
5 класс: Достоверные, случайные и невозможные события. Равновероятностные
события; дерево вариантов.
6 класс: Правило умножения для комбинаторных задач; понятие
«Вероятность», подсчёт вероятности.
7 класс: Комбинаторика.
Понятие о науке
«Комбинаторика»
Правило произведения
Размещения
Перестановки
Сочетания
8 класс:
Вероятность
История развития теории
вероятностей.
Предмет теории вероятностей.
События достоверные,
невозможные и случайные
Классическое определение
вероятности.
Комбинаторные методы решения задач.
Статистическое определение вероятности.
Геометрическое определение вероятности.
Вероятность суммы несовместных событий.
Вероятность противоположного события.
9
класс: Статистическая обработка
данных.
Введение в статистику.
Место статистики в изучении окружающего мира.
Сбор и группировка статистических данных.
Среднее арифметическое.
Размах. Мода. Медиана.
Понятие выборки
генеральной совокупности.
Наглядное представление
статистических данных.
10 класс: Комбинаторика и вероятность.
Правило умножения. Перестановки и факториалы.
Выбор
нескольких элементов. Биноминальные коэффициенты.
Случайные
события и их вероятности.
11 класс: Элементы теории вероятностей.
Вероятность и геометрия.
Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Статистические методы
обработки информации. Гауссова кривая. Закон больших чисел.
В
конце выступления хочу поделиться
некоторыми соображениями из своего
опыта. Поскольку в 2010-2011 учебном году задачи по стохастике были включены в ГИА по математике, то
необходимость по выработке умений их
решения созрела очень остро. Готовя
учащихся к экзамену, старалась предлагать им тесты из различных источников.
Задачи типа: «Среди целых чисел на отрезке от 1 до 17 случайным образом
выбирают число. Какова вероятность того, что данное число кратно 4?» у учащихся не вызывают трудностей.
Предлагаю
на обсуждение текст новой задачи: «На
отрезке от -6 до 9 числовой оси
случайным образом отмечают одну точку. Какова вероятность, что координата отмеченной
точки будет больше -2, но меньше 4?»
Предполагаемое
решение.
Учащиеся
понимают, что количество чисел на отрезке подсчитать нельзя. Способ решения
предыдущей задачи исключен. Так как чисел от -6 до 9, также как и от -2 до 4
бесконечно много, то возможно в условии задачи пропущено слово «целые». Если
учесть этот факт, то ответ 5/16, однако там значилось число 0,4.
Вторая и
третья задачи вызвали не меньше вопросов:
2) « В
квадрате с длиной стороны 1 случайным образом отмечают одну точку. Какова
вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей к ней стороны квадрата
окажется больше, чем 0,15?»
3) «В
прямоугольнике с длинами сторон 4 и 6 случайным образом отмечают одну точку.
Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей к ней стороны
прямоугольника окажется меньше, чем 1?»
Если
первая задача вызывала затруднения, то две другие просто ставили в тупик. Ясно
было одно: ключ к успеху кроется в решении первой задачи. Разгадка пришла
внезапно: «Ведь если нельзя подсчитать количество чисел на отрезке, то можно
найти длину этого отрезка». В этом случае ответ 0,4.
Данный
подход позволяет с лёгкостью решить и вторую задачу. Здесь речь идёт о площади
квадрата со стороной 1и площади квадрата со стороной 0,7 . Ответ 0,49
Третья
задача на один шаг сложнее второй. Её решение предполагает вычислить площадь
прямоугольника со сторонами 4 и 6, а также
площадь его части, равной разности площадей двух прямоугольников со сторонами 4 и 6 и со
сторонами 2 и 4. Ответ 2/3.
Всё
гениальное просто. Кстати, рассматривая на уроке первую задачу, один из
обучающихся сразу же предложил её верное решение. « Какой же ты молодец! А я
этого решения вначале не увидела».
Оказывается
это такое счастье, видеть, что твой ученик талантливее тебя самой. Ради таких
минут хочется работать и идти вперёд.
|